归一化是处理数据的重要过程，这一过程目的在于将原始数据转化为成熟的数学模型（正态分布、T分布等），便于分析和计算。

在《描述统计学入门》归一化中，你可以学习使用 Z 值将分布转化为标准正态分布，并学习如何使用归一化分布计算比例。

国际象棋

不知道你会不会国际象棋？假如你是一个国际象棋盲，下面那个描述可以让不懂国际象棋的你知道我的国际象棋水平高低？

如果你并不了解国际象棋，下面哪些选项可以让你知道我的象棋水平？

• □ 我的象棋评分是 1800 分
• □ 在参加比赛的美国象棋选手中，我的排名是第 8,110 位
• □ 我的排名高于 88% 的美国象棋选手

USCF 分布

我们来看一下美国国际象棋联合会，这是 2004 年的评分分布，记住第一个分组的组距是 200，其他的分组组距都是 100。如果我的评分是 1800，我会是在美国排名第 8110 名，已经比 88% 的人都要更高，这是关于分布图形的另一项重要内容。

我们关心的是数据值的比例，小于或大于数据集中的某个值，如果我告诉你我的评分是 1800 分，在我告诉你评分分布图的形状之前，你并不知道 1800 分的含义。

如果我们想要知道一个分布中，小于或大于某个值的比例，我们应该怎么做？

• □ 使用绝对频率
• □ 使用相对频率

相对频率直方图

比例

我们来看一个示例，平均下来人们有 190 个 Facebook 好友，假设他们的样本分布图是这样的：

首先，将每个频率转换为相对频率，并绘制出相对频率图表，在圈圈上打勾。

根据你刚刚绘制的相对频率分布图，看看 Facebook 好友在 170 和 210 个之间所占的比例是多少？

• □ 0.17
• □ 0.25
• □ 0.46
• □ 无法确定

那么，在 180 和 200 之间的比例是多少？

• □ 0.14
• □ 0.23
• □ 0.41
• □ 无法确定

更多细节

注意！我们在之前提到了直方图存在的问题，我们为了方便牺牲了一些细节，由于分组组距，我们无法判断小于或大于某些数字的比例是多少，但是我们想知道这些信息，看看分布图中的某些得分与其他得分相比的结果，如何获得更多细节呢？

我们怎样做可以获得更多细节信息？

• □ 向数据集中加入更多信息
• □ 增大组距
• □ 减小组距

无限小

但是，我们仍然不知道有多少值小于每个分组之间的任何值。例如，我们无法判断小于 175 的比例，理想情况下，我们尽量希望组距越小越好，实际上是无穷小，但是看看降低组距之后，即增加分组数量，数据会发生什么情况。

以下是，这是 50、100、1,000、30,000、150,000 组距的变化：

可以看到，y轴上的频率越来越小，到最后 150,000 组距，每个容器的频率要么是 0 或 1，这是因为分组太小了。很多分组中只有一个值，甚至没有任何值。最终如果继续降低容器的大小，分布图的形状变得松散起来。

连续分布

现在我们陷入了困境，我们想要很小的组距，尽可能的提供更多的细节信息，描述出数据值相对于分布图剩余数据值的位置，最终我们开始丢失分布图的形状。如果组距很大，则无法判断小于任何数据值的比例，我们将使用一个分布图理论模型来解决这一难题。

该模型的曲线较为光滑，使用的是相对频率，这是一个理论上连续的分布图，可以用方程式来表示，使我们能够计算 x 轴上任何两个值之间的比例。

这个理论上的连续曲线下的面积是多少？

理论正态分布

在大部分情况下，我们将重点研究正态分布数据，正态分布类型多样，有宽扁型、瘦高型，或介于二者之间，但曲线下的面积始终为 1 或 100%。之前还在正态分布数据集中看到，平均值、中位数和众数几乎相等，在理论模型中，它们是完全相等的。理论模型是完美对称的，在现实生活中几乎不会发生。

这些模型接近于我们的现实分布图，但是通常可以非常相近，在理论模型中，大多数数据都位于中间，分布在平均值、中位数和众数周围。还记得 大约 68% 的数据在平均值的 1 个标准偏差内，95% 的数据在平均值的 2个标准偏差内。

Z

特定值在 x 轴上的位置通常用标准偏差来描述，我们将 任何值与平均值的标准偏差，称为 Z。通过将正态分布中的值转换为这个特殊数字 z，就可以知道小于或大于该值的百分比。例如如果某个值与平均值相差 1 个标准偏差，则无论是哪种正态分布，我们都知道大约 84% 的值小于该值。

不受欢迎

Katie 在 Facebook 上只有 63 个好友，Andy 在 Twitter 上只有 54 个关注数。Facebook 好友平均数量是 190 人，Katie 低于平均值 127 个好友；Twitter 关注着的平均值是 208 人，所以 Andy 低于平均值 154 个好友。

再来看看比例，Katie 的 Facebook 好友数量是平均值的 33%，Andy 的 Twitter 的关注着只有平均值的 25%。

了解受欢迎程度的更好的方式是，看看分布情况，Facebook 好友和 Twitter 关注着的分布是正态的，Twitter 关注着的标准偏差是 60，但是 Facebook 好友的标准偏差只有 35，余平均值的标准偏差肯定是了解受欢迎程度的更加方式。

Katie 的标准偏差

根据这些分布情况，Katie 的 Facebook 好友数量与 Facebook 好友数量平均值的标准偏差是多少？注意，Katie 有 63 个 Facebook 好友，Facebook 好友的平均数量是 190 个，标准偏差是 36。

Katie 的 Facebook 好友数量与均值相差多少个标准偏差？

Andy 的标准偏差

Andy 的 Twitter 关注者数量与均值相差多少个标准偏差？注意，Andy 在 Twitter 上只有 54 个关注数，Twitter 关注着的平均值是 208 人。

Andy 的 Twitter 关注者数量与均值相差多少个标准偏差？

谁更不受欢迎？

如果 Andy 只使用 Twitter，而 Katie 只使用 Facebook，我们可以说 Andy 比 Katie 更不受欢迎吗？

• □ 是
• □ 否

为什么？

因为看分布图的话，它们都是不同的，我们可以通过在同一坐标轴上对比它们，换句话说，根据它们的唯一标准偏差，这叫做标准化分布图，使用 0 作为参考点。

当我们标准化后，发现 Katie (蓝色) 比 Andy (红色) 离平均值更远。所以最不受欢迎的人是 Katie。

Z – 值

我们不仅仅关心各个值与平均值之间的距离，还关心这些值是小于还是大于平均值，在 x 轴上标准化任何值时，我们得出 z 值，我们始终会用 x 减去平均值然后除以标准偏差，这样，当某个值小于平均值时，结果会是负的 z 值。

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

z 值是指任何值距离平均值的标准偏差数，因此，我们可以将正态分布中的任何值转换为 z 值，这么转换时，我们就标准化了分布图，我们可以对任何正态分布图进行标准化。

负 Z – 值

负的 Z 值意味着什么？

1. □ 原始值是负数
2. □ 原始值小于平均值
3. □ 原始值小于 0
4. □ 原始值减去均值是负数

归一化分布的均值

如果我们通过所有值都转换为 z 值来归一化分布图，该归一化分布图的新平均值会是多少？

归一化分布的标准偏差

如果我们将数据归一化处理为 z 值，该归一化分布的新标准偏差会是多少？

标准正态分布

对于任何正态分布，我们都可以通过以下方式归一化该分布，首先减去平均值，将其平移到 0 处，然后除以标准偏差，使标准偏差等于 1，这就叫做标准正态分布。

受欢迎的 Chris

假设 Chris 非常受欢迎，他拥有的 Facebook 好友数大于平均值 2.5 个标准偏差，也就是说他比 99% 的人好友都要多，如果原始数据的真是标准偏差依然是 36，原始平均值依然是 190，那么 Chris 有多少个 Facebook 好友？

Chris 有多少 Facebook 好友？

转换为 z – 值

假设我们希望标准偏差为 10，我们从原始的 Facebook 分布开始，平均值为 190 标准偏差为 36，假设某人有 210 个 Facebook 好友，先将该值转换为 z 值，结果是多少？位于该分不的什么位置？

转化为受欢迎值

现在我们想要将其转化为新的受欢迎程度图标，平均值为 50，标准偏差为 10 请计算下，如果他有 210 个 Facebook 好友 ，他的受欢迎程度是多少？注意，我们对受欢迎程度的操作性定义是 Facebook 好友数，虽然这不一定真实。

归一化就说到这里了，你可以去 Udacity 课程上，完成所有题目并继续学习，也可以跟我一起开始下一节课程的学习。