当两组数据的众数、均值、中位数均相同的时候，如何再比较这两组数据呢？

在《描述统计学入门》可变性中，你可以学习如何使用方差和标准差定量分析数据的分布，并学习如何使用箱线图和四分位距找出异常值。

相同的值，有什么不同？

这是有社交网络人员和没有社交网络人员的两组数据，你先看一下这两组数据的 众数、均值、中位数是否相等？

很明显，众数、均值、中位数全都相等。但这两组数据有什么区别吗？

这两个分布有什么区别？

1. □ 有社交网络帐号的人的工资更一致
2. □ 一般大众的工资更为一致
3. □ 工资非常高的人没有社交网络帐号
4. □ 工资非常低的人有社交网络帐号
5. □ 一般大众的工资分布图更分散

量化数据的分布形态

如果给出了这两组数据的最大值和最小值，那么这两个分布的范围（最大值和最小值之间的差）分别是多少？范围是观察到的最大值和最小值之间的差。

第一组数据：$78,600 – $21,180 = $57,420

第二组数据：$116,020 – $7,350 = $108,670

这是一个用来衡量分布图有多分散的方法，值域很容易计算和理解。还提供了一个关于数据如何分散的概要信息。然而，正如我们以前看到的那样，方便是有代价的。

值域是否改变？

当我们向数据集中添加值时，值域是会怎样变化？

• □ 总会改变
• □ 有时会改变
• □ 永远不会改变

假定我们将扎克伯格（薪资为1000万）包含进来，那么这个分布图的值域是多少？

砍掉尾巴

统计学家处理异常值的一种方法就是忽略分布中的上尾和下尾，因此，我们将忽略掉扎克伯格，然后我们只需考虑中间的数据值。忽略尾部是什么意思？习惯上，统计学家会忽略较低的25%和较高的

四分位

将数据从小到大排列好之后，等分为4段，Q1表示25%处的值，Q2表示50%处的值（同时也是中位数），Q3表示75%处的值。

四分位距 IQR

在得出Q3减去Q1结果时，实际是在计算四分位距(差)，英文 Interguartile Range，缩写为IQR。下面来看一看关于IQR的说法。

错误还是正确？

• 几乎 50% 的数据在 IQR 间。
• IQR 受到数据集中每一个值的影响。
• IQR 不受异常值的影响。

异常值

那些是异常值？

异常数值究竟是什么？比如在这些数据中，你认为异常数值会在哪里？

这个数据集中哪些是异常值？

• □ $ 60,000
• □ $ 80,000
• □ $ 100,000
• □ $ 200,000

定义异常值

如果一个值小于第一个四分位数减去1.5倍的IQR，或者大于Q3加上1.5倍的IQR，则这个数就被认定为异常数值。

Outlier ＜ Q1 – 1.5 × (IQR)

Outlier ＞ Q3 + 1.5 × (IQR)

上例中，你可以看到四分位的差是4,944，Q1是49,191，Q3是54,135，下来用统计学的方法确定哪些值被认为是异常数值。

你认为这个数据集中哪些是异常值？

• □ $ 60,000
• □ $ 80,000
• □ $ 100,000
• □ $ 120,000

匹配对应的箱线图

我们用箱线图（也叫盒须图）来更直观地表示四分位数和异常数值，看上去就像下图一样，最上方的线（水平）表示最小值，第二条线（水平）表示Q1，第三条线（水平）表示Q2或中位数，第四条线（水平）表示Q3 ，最下方的线 （水平） 表示最大值。下方的点表示异常值。

根据这些信息，再来看一道题，你认为哪个箱线图符合这些分布图？（方框中填入 A、B、C）

均值在IQR中吗？

现在学习了可以用箱线图来直观地表示数据，特别是表示中位数、四分位差、最小值和最大值。记住min与max之间的距离是值域，也可以写成 (min, max)。

现在再看一个概念性的问题，平均值总是在Q1和Q3之间吗？

• □ 是的
• □ 不是

IQR的不足

你发现值域和IQR都无法将所有的数据考虑进来，完全不同的两个数据集也可以有相同的IQR，例如正态分布、双峰分布和均匀分布。因此，IQR并不能满足我们对数据集的信息提取需求。

请记住我们在计算平均值时是如何使用所有数据的，因为计算平均值时，我们对所有值求和，然后除以值的个数，所以这个过程使用了所有的数据值。如果我们在计算差异性时采用类似的方法，会出现什么情况呢？换句话说，我们需要一个数字，既能反映数据的分布，又可以将所有的数据考虑进来。

衡量差异性的方法

下列哪个是衡量差异性最好的选项？选择您最认为最好的选项。

• □ 找出任意两个值之间差的平均值
• □ 找出每个值与最大值或最小值之间差的平均值
• □ 找出每个值与数据集均值之间差的平均值

总之，我们来用个数据，一步一步印出来这个值。先计算下平均值吧~

平均值是 $52,793.80，这个就不多说了，小学知识。

离均差

离均差就是每个值减去平均值，注意离均差可能是负数。

注意：

标准差是离均差平方的算术平均数的平方根。

标准差是方差的算术平方根。

下面来计算一下每个数据的离均差，并计算平均偏差。

摆脱负值，开心起来

现在我们又遇到了问题，我们的平均值偏差为0，这显然无法很好地测量分布，这会让我们认为，如果我们再三得到相同的数据点，则其分布将为0，但是现在整条数轴上有许多数据点，这将导致某种程度的分布。因此，如果我们仍然得到值为0的平均偏差，则不能通过这种方式来测量分布。问题在于，负值将抵消正值，所以你觉得：

我们如何阻止负偏差和正偏差相互抵消？

• □ 忽略负号
• □ 将偏差乘2
• □ 将偏差平方
• □ 我们什么都做不了

绝对偏差

摆脱负值的第一个办法是用绝对偏差。顾名思义，将离均差取绝对值，变成非零值。

公式：

\frac {\sum \left| x_{i}-\overline {x}\right|}{n}

\sum \left( \frac {\left| x_{i}-\overline {x}\right| }{n}\right) 

\frac {\sum \left( \left| \overline {\chi }-x_{i}\right| \right) }{n}

我们现在再来计算绝对偏差的平均值，为13543.56。

平方偏差

摆脱负值的第二个办法是用平方偏差。即，将离均差取平方，变成非零值。

公式：

\Sigma \left( x_{i}-\overline {x}\right) ^{2}

我们现在再来计算绝对偏差的平均值，为291,622,740。

它有一个非常特殊的名称，叫做方差（VARIANCE）。

用语言解释平均平方偏差

我们要如何用语言描述方差？

1. □ 平方偏差的均值
2. □ 平方偏差之和除以n
3. □ 平均平方偏差的平方

一维的数据

让我们来直观地表示出运算过程，我们有一组数据并求出了平均值，我们再找出每个值与平均值之间的距离然后将其平方，这其实就是每个正方形的面积，正方形的边长就是每个值与平均值之间的距离。因此这些平方的和基本上就是每个正方形的面积之和。

这里每个距离是 x_{i} 减去 ，每个面积是 [latex]x_{i} 减去 的平方，我们得到平均值的平方，平均值的平方的大小可能大、可能小，大小就用美元表示，因此这个正方形的面积就是美元单位的平方。如何将这个值变回美元呢？取平方根值除以2，还是减去一个美元符号呢？</p> <figure class="wp-block-image"><img src="https://www.nousbuild.org/codelab/wp-content/uploads/2019/02/aitds-variability-22.jpg" alt="" class="wp-image-569"/></figure> <p><strong>我们如何将平均平方的维度从二维（$</strong>^{<strong>2</strong>}<strong>）降为一维（$）？</strong></p> <ul class="wp-block-list"><li>□ 求平方根</li><li>□ 除以2</li><li>□ 减去一个 $</li></ul> <p>正确答案：求平方根。这个正方形的边长就是<strong>标准偏差</strong>。</p> <h2 class="wp-block-heading"><strong>标准偏差</strong></h2> <p>简明地总结我们采取的措施，我们发现每个值与平均值的偏差，这就是偏差，然后我们对每个偏差取平方，等同于这些方形的面积。然后，我们得出这些方形面积的平均值，我们将该平均值开平方，从而得到方形的边长，即标准差。标准差是最常用的分布测量方法，其符号为小写的 [latex]\sigma。考虑到方差其实是该偏差平方的平均值，因此对方差开平方后，我们就得到标准差。

则，这组数据的标准差是 17,077。

我们要很有条理，先求出平均值，求出离均差，再求出每个偏差的平方值，取平均值后再取平方根值，最后得到标准偏差。

我们现在忽略扎克伯格，计算这组数据的标准偏差。

用语言解释标准偏差

这是一个非常难的测试，你必须思考每种表述，但这真的可以帮助你理解什么是标准偏差。

如何用语言解释标准偏差？

1. □ 平均平方偏差的平方根
2. □ 平均平方偏差的平方
3. □ 平方偏差的和
4. □ 绝对偏差平方的和
5. □ 平方偏差的和除以n，再开平方

用电子表格计算标准偏差

终于到了用电子表格的时候了，你可以选择 微软的 Excel 、苹果的 Number、谷歌的 Sheets，三者选其一。如果你没有安装软件，可以使用网页版。

微软 Excel Online版：点击进入

苹果 Number iCloud版：点击进入

谷歌 Sheets Web版：点击进入

单击此处下载数据：社交网络工作人员的薪酬示例，计算标准偏差。

标准偏差的重要性

现在你认识到计算标准差是相当复杂的，那么它有什么重要作用呢？我们为何不仅仅算出平均绝对偏差？为何要对每个偏差取平方，获取平均值，然后获取平方根？这样不是做了大量复杂的额外工作吗？实际上，标准差的作用非常大，它可以在进行统计分析时提供大量帮助。

事实证明，在正态分布中，即数据分布均匀，平均值等于中位数也等于众数，同时这些统计量位于分布的中心，标准差具有重要意义，大约68%的数据与平均值的偏差不超过1个标准差，也就是说68%的数据介于两者之间。而95%的数据与平均值的偏差不超过2个标准差，也就是95%的数据介于两者之间。

我们这么说是因为，曾经有一批数学家已经为我们计算出结果，并将所有数据放到一份非常实用的表格中，以后就会用到。

做一个测试吧，如果均值为60，标准偏差为13，那么：

• 均值一个标准偏差以下的值是多少？ □
• 均值两个标准偏差以上的值是多少？ □
• 均值两个标准偏差以下的值是多少？ □

所选样本的标准偏差

为了引入最后一个知识点，还是先来一道测试。

比如说这里有个总体，计算出平均值为18.97，标准偏差是5.99。（这些数字使用R随机生成的）我们去一个样本看看，它包括18、20、23、18、21、15、17、22和21，总共9个数字，来计算这个抽样的标准偏差。

贝塞尔校正

通常，抽样中会低估了总体中的差异性的数量，因为抽样往往是总体居于中间的值，特别是正态分布中，多值居于中间位置。因此我们从正态分布的总体中抽样时，多值也在此处附近，因为多值在这个区域内，因此，抽样中的差异性将少于整个总体的差异性。

为了纠正这一现象，我们使用贝塞尔校正系数，我们把 除以n 用 除以n-1 代替，在方差的处理中也是一样的，那么对于原来的标准偏差和方差，除以n-1以后会产生什么结果呢？

贝塞耳校正会如何影响原始标准偏差和方差？

• □ 它们会更大
• □ 它们会更小

样本标准偏差

我们用小写的s表示更正后的标准差，如果我们使用样本，就会利用它估算出真实的总体标准差 \sigma，我们将此称作样本标准差，不要将其与小型数据集的实际标准差混淆。

例如，假设这是我们的数据集，其中n等于5，要计算这个数据集的标准差，我们要计算平均差，也就是3，从平均差中计算出各个方差，将这些方差相加，也称为方差和，然后除以5或n这就是这五个值的标准差。

但是，如果我们利用这个数据集估算次样本所属的较大型总体的标准差，那么我们要除以(n-1)，因此，如果我们要估算总体的标准差，那么分母就应该是4。虽然很让人迷惑，但不要混淆这两者，因为我们使用这个公式分母是 n-1

注意！如果你有样本，并且需要估算总体标准差，那就可以使用这个公式，分母为 n-1，使整个标准差值稍大一些，这就是真实的总体标准差 \sigma 更准确的估算。

但是，如果你有一个数据集，并且需要计算该数据集的标准差，而不是估算总体标准差，那么你需要除以n。

果冻豆

接下来是另一种思考方式，假设你有一袋糖果，其中有一粒甘草味，四粒草莓味，四粒蓝莓味，还有一粒樱桃味和两粒酸橙味，你根据染颜色自行决定。如果我们从中取样，比如取私立糖果，那么我们拿到甘草味的可能性很低。

假如我们抽取的样本只有这些口味，这个样本无法反映我们拥有的所有口味，包括樱桃味和甘草味，也就是说抽取的样本低估了我们拥有的糖果总体的情况。

希望这个例子能够帮助你了解我们为什么要计算样本标准差时除以 n-1。

可变性就说到这里了，你可以去 Udacity 课程上，完成所有题目并继续学习，也可以跟我一起开始下一节课程的学习。